【題目】已知多面體如圖所示，底面為矩形，其中平面， ，若分別是的中心，其中.

（1）證明： ；

（2）若二面角的余弦值為，求的長.

【答案】(1)見解析(2) SD=2

【解析】試題分析： 利用題意證得平面，然后利用線面垂直的性質(zhì)和直線平行的結(jié)論可得

建立空間直接坐標系，由平面向量的法向量和二面角的余弦值可求的長

解析：（1）取的中點，連接， ，

因為是正方形，所以 ， ；

因為分別是, 的中點，所以 , ；

又因為 且，所以 ， ，

所以四邊形是平行四邊形, 所以 .

因為 平面，

又故，故；

（2）如圖，以D為原點，射線DA，DC，DS分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系；設(shè)，則．

因為⊥底面，所以平面的一個法向量為.

設(shè)平面SRB的一個法向量為，

， ，則 即

令x=1，得，所以，

由已知，二面角的余弦值為，

所以得 ，解得a =2，所以SD=2．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C1的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l1：x﹣2y+3 =0相切，點A為圓上一動點，AM⊥x軸于點M，且動點N滿足 ，設(shè)動點N的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C相交于不同兩點A，B，且滿足 （O為坐標原點），求線段AB長度的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l的斜率為k，經(jīng)過點（1，﹣1），將直線向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到直線m，若直線m不經(jīng)過第四象限，則直線l的斜率k的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l的方程為x=﹣2，且直線l與x軸交于點M，圓O：x2+y2=1與x軸交于A，B兩點．
（1）過M點的直線l1交圓于P、Q兩點，且圓孤PQ恰為圓周的 ，求直線l1的方程；
（2）若橢圓中a，c滿足 =2，求中心在原點，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；
（3）過M點作直線l2與圓相切于點N，設(shè)（2）中橢圓的兩個焦點分別為F1 ， F2 ， 求三角形△NF1F2面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，設(shè)命題p：橢圓C： + =1的焦點在x軸上；命題q：直線l：x﹣y+m=0與圓O：x2+y2=9有公共點． 若命題p、命題q中有且只有一個為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知, .

（1）求函數(shù)的增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并說明理由；

（3）設(shè)正實數(shù)， 滿足，當時，求證：對任意的兩個正實數(shù)， 總有.

(參考求導(dǎo)公式： )

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)兩個非零向量 與 不共線．
（1）若 = + ， =2 +8 ， =3（ ﹣ ）．求證：A，B，D三點共線；
（2）試確定實數(shù)k，使k + 和 +k 共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，
（1）若方程C表示圓，求實數(shù)m的范圍；
（2）在方程表示圓時，該圓與直線l：x+2y﹣4=0相交于M、N兩點，且|MN|= ，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，橢圓C過點A ，兩個焦點為（﹣1，0），（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

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