Question

6．如圖在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E為PA的中點(diǎn)．（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD； 
（2）求點(diǎn)E到平面PBC的距離；
（3）求二面角A-EB-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，AC相交于點(diǎn) O，連結(jié)EO，由題可知O為AC的中點(diǎn)，又E為PA的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得OE∥PC，得到OE⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定可得平面EBD⊥平面ABCD；
（2）由已知結(jié)合等積法求得A到平面PBC的距離為$\sqrt{3}$，再由E為PA的中點(diǎn)，可得E點(diǎn)到平面PBC的距離；
（3）過點(diǎn)O作OF垂直BE于F點(diǎn)，連結(jié)OF，AF，由線面垂直的判定可得AO⊥平面BDE，BE⊥平面AOF，得到二面角A-EB-D的平面角為∠AFO，求解直角三角形得答案．

解答 （1）證明：連結(jié)BD，AC相交于點(diǎn) O，連結(jié)EO，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)，
又∵E為PA的中點(diǎn)，∴OE∥PC，
由PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD；
（2）解：V_A-PBC=V_P-ABC，
由ABCD是菱形，且邊長(zhǎng)為2，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，
得${S}_{△ABC}=\sqrt{3}$，S_△PBC=2，可得A到平面PBC的距離為$\sqrt{3}$，
∵E為PA的中點(diǎn)，∴E點(diǎn)到平面PBC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）解：過點(diǎn)O作OF垂直BE于F點(diǎn)，連結(jié)OF，AF，
由AO⊥BD，AO⊥OE，BD∩OE=O，∴AO⊥平面BDE，
AO⊥BE，OF⊥BE，AO∩OF=O，BE⊥平面AOF．
∴二面角A-EB-D的平面角為∠AFO，
在直角△AFO中，tan∠AFO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，考查二面角的平面角的求法，是中檔題．