Question

12．現(xiàn)有4名男生、3名女生站成一排照相．（結(jié)果用數(shù)字表示）
（1）女生甲不在排頭，女生乙不在排尾，有多少種不同的站法？
（2）女生不相鄰，有多少種不同的站法？
（3）女生甲要在女生乙的右方，有多少種不同的站法？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2種情況討論：①、女生甲排在隊尾，②女生甲排不在隊尾，每種情況下依次分析女生乙和其他5名女生的站法數(shù)目，有分步計數(shù)原理可得每種情況下的站法數(shù)目，由加法原理，將兩種情況的站法數(shù)目相加，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，用插空法分2步進(jìn)行分析：①、將4名男生全排列，排好后包括兩端，有5個空位，②、在5個空位中任選3個，安排3名女生，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，將7人全排列，計算可得7人的站法數(shù)目，分析可得：女生甲在女生乙的右方與女生甲在女生乙的左方的數(shù)目相同，由倍分法計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①、女生甲排在隊尾，女生乙有6個位置可選，
剩下的5人全排列，安排在其他5個位置，有A₅⁵種情況，
此時有6×A₅⁵=720種站法；
②女生甲排不在隊尾，女生甲有5個位置可選，女生乙不在排尾，女生乙有5個位置可選，
剩下的5人全排列，安排在其他5個位置，有A₅⁵種情況，
此時有5×5×A₅⁵=3000種站法；
則一共有720+3000=3720
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、將4名男生全排列，有A₄⁴=24種順序，排好后包括兩端，有5個空位，
②、在5個空位中任選3個，安排3名女生，有A₅³=60種情況，
則此時有24×60=1440種站法；
（3）根據(jù)題意，將7人全排列，有A₇⁷=5040種順序，
女生甲在女生乙的右方與女生甲在女生乙的左方的數(shù)目相同，
則女生甲要在女生乙的右方的排法有$\frac{1}{2}$×A₇⁷=2520種情況．

點評 本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意優(yōu)先分析受到限制的元素．