Question

13．已知圓C：x²+y²=1，點P為直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB經過定點（　�。�

• A． $（{\frac{1}{2}，\frac{1}{4}}）$
• B． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}）$
• C． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{4}，0}）$
• D． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$

Answer 1

分析 根據題意設P的坐標為P（4-2m，m），由切線的性質得點A、B在以OP為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過的定點坐標．

解答 解：因為P是直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1的任一點，所以設P（4-2m，m），
因為圓x²+y²=1的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
則點A、B在以OP為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，
則圓心C的坐標是（2-m，$\frac{m}{2}$），且半徑的平方是r²=$\frac{（4-2m）^{2}+{m}^{2}}{4}$，
所以圓C的方程是（x-2+m）²+（y-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{（4-2m）^{2}+{m}^{2}}{4}$，①
又x²+y²=1，②，
②-①得，（2m-4）x-my+1=0，即公共弦AB所在的直線方程是：（2m-4）x-my+1=0，
即m（2x-y）+（-4x+1）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{-4x+1=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{1}{4}$，y=$\frac{1}{2}$
所以直線AB恒過定點（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
故選B．

點評 本題考查了直線和圓的位置關系，圓和圓的位置關系，圓的切線性質，以及直線過定點問題，屬于中檔題．