Question

18．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，右焦點(diǎn)F（c，0），過(guò)點(diǎn)A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，求證：M，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線；
（3）當(dāng)△FPQ面積最大時(shí)，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式，計(jì)算可得a與c的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-3），聯(lián)立直線與橢圓的方程可得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0，設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系的分析求出$\overrightarrow{MF}$、$\overrightarrow{FQ}$的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法，分析可得證明；
（3）設(shè)直線PQ的方程為x=my+3，聯(lián)立直線與橢圓的方程，分析有（m²+3）y²+6my+3=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析用y₁．y₂表示出△FPQ的面積，分析可得答案．

解答 解：（1）由$\frac{{\sqrt{{a^2}-2}}}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}⇒a=\sqrt{6}$，
c=ea=$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\sqrt{6}$=2，
則b²=a²-c²=2，
∴橢圓E的方程是$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）證明：由（1）可得A（3，0），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-3），
由方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=k（{x-3}）\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0，
依題意△=12（2-3k²）＞0，得$-\frac{{\sqrt{6}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{18{k^2}}}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{27{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$，
∵$F（{2，0}），M（{{x_1}，-{y_1}}），\overrightarrow{MF}=（{2-{x_1}，{y_1}}），\overrightarrow{FQ}=（{{x_2}-2，{y_2}}）$，
由（2-x₁）y₂-（x₂-2）y₁=（2-x₁）•k（x₂-3）-（x₂-2）•k（x₁-3）=$k[{5（{{x_1}+{x_2}}）-2{x_1}{x_2}-12}]=k（{5•\frac{{18{k^2}}}{{3{k^2}+1}}-2•\frac{{27{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}-12}）=0$，
得$\overrightarrow{MF}∥\overrightarrow{FQ}$，∴M，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線．
（3）設(shè)直線PQ的方程為x=my+3．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ x=my+3\end{array}\right.$，得（m²+3）y²+6my+3=0，
依題意△=36m²-12（m²+3）＞0，得${m^2}＞\frac{3}{2}$．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{{m^3}+3}}，{y_1}{y_2}=\frac{3}{{{m^3}+3}}$．
∴${S_{△FPQ}}=\frac{1}{2}|{AF}|•|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{-\frac{6m}{{{m^2}+3}}}）}^2}-\frac{12}{{{m^2}+3}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{12（{2{m^2}-3}）}}{{{{（{{m^2}+3}）}^2}}}}$，
令t=m²+3，則${S_{△FPQ}}=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{12（{2t-9}）}}{t^2}}=\sqrt{3[{-9{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{9}}）}^2}+\frac{1}{9}}]}$，
∴$\frac{1}{t}=\frac{1}{9}，t={m^2}+3=9$，即${m^2}=6，m=±\sqrt{6}$時(shí)，S_△FPQ最大，
∴S_△FPQ最大時(shí)直線PQ的方程為$x±\sqrt{6}y-3=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵由離心率的公式求出橢圓的方程．