Question

3．如圖：已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為6的正方形ABCD，PA=8，PA⊥面ABCD，點M是CD的中點，點N是PB的中點，連接AM、AN、MN．
（1）求證：AB⊥MN
（2）求異面直線AM與PB所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由題意，證明線線垂直，利用“三垂線定理或三垂線定理的逆定理”即可解決．
（2）異面直線所成角，首先要構造出這兩條異面直線的平行線相交的角，即為異面直線所成角．由題意，分別取AB，PA中點E，F，連接CE，EF，CF，所以異面直線AM與PB所成角的大小即相交直線CF與EF所成角的大�。�

解答 解：（1）分別取AB，PA中點E，F，連接CE，EF，CF，NE，ME．
∵E是AB中點，點N是PB的中點，
∴$E{N}_{=}^{∥}\frac{1}{2}AP$
∵PA⊥面ABCD，
∴NE⊥面ABCD，NE⊥AB．
又∵MN∥BC，∴MN⊥AB．
所以：AB⊥MN，
得證．

（2）∵E是AB中點，F是PA中點E，N是PB的中點，點M是CD的中點
∴AM${\;}_{=}^{∥}$CE，FE${\;}_{=}^{∥}\frac{1}{2}PB$．
所以：異面直線AM與PB所成角的大小即相交直線CF與EF所成角的大小
在△CEF中：EC=MA=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$3\sqrt{5}$，FE=$\frac{1}{2}PB=5$，FC=$\sqrt{A{F}^{2}+A{C}^{2}}=2\sqrt{22}$．
利用余弦定理：
cos∠FEC=$\frac{F{E}^{2}+E{C}^{2}-F{C}^{2}}{2EF•EC}=\frac{25+45-88}{2×3\sqrt{5}×5}=-\frac{3\sqrt{5}}{25}$
∵cos∠FEC＜0，
∴∠FEC是鈍角．
所以異面直線AM與PB所成角的大小為π-$arccos\frac{{3\sqrt{5}}}{25}$．

點評 本題考查了“三垂線定理或三垂線定理的逆定理”證明線線垂直問題．考查了異面直線所成角問題．還利用了余弦定理求角度，注意異面直線所成角范圍是（0，π]，這是易錯點．屬于中檔題．