Question

14．已知${（1-2x）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，求：
（1）a₁+a₂+…+a₇；
（2）a₁+a₃+a₅+a₇；
（3）|a₀|+|a₁|+…+|a₇|

Answer 1

分析 （1）在所給的等式中，令x=0，可得常數(shù)項a₀=1；令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1，從而求得a₁+a₂+a₃+…+a₇的值．
（2）在所給的等式中，分別令x=1、-1，得到2個等式，再把這2個等式相減，可得a₁+a₃+a₅+…+a₇的值．
（3）在（1+2x）⁷ 中，令x=1，可得要求式子的值．

解答 解：（1）在${（1-2x）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=0，可得常數(shù)項a₀=1．
在所給的等式中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₇=-2．
（2）在所給的等式知${（1-2x）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1①，
令x=-1可得得${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…-{a_7}={3^7}$②，
用①減去②再除以2可得a₁+a₃+a₅+…+a₇=-1094．
（3）在（1+2x）⁷ 中，令x=1，可得$|{a_0}|+|{a_1}|+|{a_2}|+…+|{a_7}|={3^7}=2187$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎題．