Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a₂=b，2a_n+2=a_n+1+a_n．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明：若a≠b，則{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）=4$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由2a_n+2=a_n+1+a_n，變形為2（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n）．令b_n=a_n+1-a_n，則${b_{n+1}}=-\frac{1}{2}{b_n}$，利用等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式即可證明．
（2）由（1）可知${b_n}={a_{n+1}}-{a_n}=（b-a）{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}（n∈{N^*}）$，利用累加法${a_{n+1}}=a+\frac{2}{3}（b-a）[1-{（-\frac{1}{2}）^n}]$，可得：${a_n}=a+\frac{2}{3}（b-a）[1-{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}]（n≥2），n=1$時(shí)也適合該式．再利用極限的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 （1）證明：由a₁=a，a₂=b，2a_n+2=a_n+1+a_n，得2（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n）．
令b_n=a_n+1-a_n，則${b_{n+1}}=-\frac{1}{2}{b_n}$，
∴{b_n}是以b-a為首項(xiàng)，以$-\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）可知${b_n}={a_{n+1}}-{a_n}=（b-a）{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}（n∈{N^*}）$，
由累加法得${a_{n+1}}-{a_1}=（b-a）\frac{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}{{1-（-\frac{1}{2}）}}$，即${a_{n+1}}=a+\frac{2}{3}（b-a）[1-{（-\frac{1}{2}）^n}]$，
∴${a_n}=a+\frac{2}{3}（b-a）[1-{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}]（n≥2），n=1$時(shí)，a₁=a也適合該式；
∴${a_n}=a+\frac{2}{3}（b-a）[1-{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}]（n∈{N^*}）$
∴${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=na+\frac{2}{3}（b-a）[n-\frac{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}{{1+\frac{1}{2}}}]=na+\frac{2}{3}（b-a）n-\frac{4}{9}（b-a）+\frac{4}{9}（b-a）{（-\frac{1}{2}）^n}$，
由于$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）=4$，
∴$a+\frac{2}{3}（b-a）=0，-\frac{4}{9}（b-a）=4$，解得a=6，b=-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．