Question

19．在極坐標(biāo)下，定義兩個點（ρ₁，θ₁）和（ρ₂，θ₂）（ρ₁，ρ₂＞0，0≤θ₁，θ₂≤2π）的“極坐標(biāo)中點“為（$\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{2}$，$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{2}$），設(shè)點A、B的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{100}$）與（8，$\frac{51π}{100}$），設(shè)M為線段AB的中點，N為點A、B的“極坐標(biāo)中點”，則線段MN的長度的平方為56-36$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 取出M，N的直角坐標(biāo)，代入兩點間的距離公式計算．

解答 解：A的直角坐標(biāo)為A（4cos$\frac{π}{100}$，4sin$\frac{π}{100}$），B的直角坐標(biāo)為B（8cos$\frac{51π}{100}$，8sin$\frac{51π}{100}$），即B（-8sin$\frac{π}{100}$，8cos$\frac{π}{100}$）．
∴AB的中點坐標(biāo)為M（2cos$\frac{π}{100}$-4sin$\frac{π}{100}$，2sin$\frac{π}{100}$+4cos$\frac{π}{100}$），
AB的極坐標(biāo)中點為N（6，$\frac{13π}{50}$）．N的直角坐標(biāo)為N（6cos$\frac{13π}{50}$，6sin$\frac{13π}{50}$）．
∴|MN|²=（2cos$\frac{π}{100}$-4sin$\frac{π}{100}$-6cos$\frac{13π}{50}$）²+（2sin$\frac{π}{100}$+4cos$\frac{π}{100}$-6sin$\frac{13π}{50}$）²
=4+16+36-16cos$\frac{π}{100}$sin$\frac{π}{100}$-24cos$\frac{π}{100}$cos$\frac{13π}{50}$+48sin$\frac{π}{100}$cos$\frac{13π}{50}$+16cos$\frac{π}{100}$sin$\frac{π}{100}$-24sin$\frac{π}{100}$sin$\frac{13π}{50}$-48cos$\frac{π}{100}$sin$\frac{13π}{50}$
=56-24cos$\frac{π}{4}$+48sin（-$\frac{π}{4}$）
=56-36$\sqrt{2}$．
故答案為56-36$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，三角函數(shù)的化簡求值，屬于中檔題．