Question

14．函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論．
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域，再根據(jù)奇偶性的定義作出判斷；
（2）直接用定義證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（-x）=-x+$\frac{2}{-x}$=-（x+$\frac{2}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈[$\sqrt{2}$，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
因為$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0且x₁x₂＞2，
因此，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷和單調(diào)性的證明，考查了奇偶性的定義和單調(diào)性的定義，屬于基礎(chǔ)題．