Question

給出四個命題：其中所有的正確命題的序號是

 

①存在實數(shù)α，使sinαcosα=1；
②存在實數(shù)α，使sinα+cosα=

3

2

；
③y=sin(

5π

2

-2x)是偶函數(shù)；
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的一條對稱軸方程；
⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，結(jié)合正弦函數(shù)的值域可判斷①正誤；
根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）結(jié)合正弦函數(shù)的可判斷②正誤；
根據(jù)誘導公式得到 y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，再由余弦函數(shù)的奇偶性可判斷③正誤；
將x=

π

8

代入到y=sin(2x+

5π

4

)得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可判斷④正誤．
利用反例判斷⑤的正誤，即可．

解答： 解：對于①，由sinα•cosα=1，得sin2α=2，矛盾；①錯誤．
對于②，由sinα+cosα=

3

2

，得

2

sin（α+

π

4

）=

3

2

，矛盾；②錯誤．
對于③，y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，是偶函數(shù)；③正確．
對于④，將x=

π

8

代入到y=sin(2x+

5π

4

)得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的圖象的一條對稱軸方程．④正確．
對于⑤，不妨取β=60°，α=390°，α＞β但是sinα＜sinβ．∴⑤不正確．
故③④正確
故答案為：③④．

點評：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的公式、誘導公式和三角函數(shù)的對稱性．考查三角函數(shù)公式的綜合應用．三角函數(shù)的公式比較多，很容易記混，平時要注意積累．是基礎題．