Question

10．若點P（x，y）在曲線C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，θ∈R）上，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求$\frac{y}{x}$的范圍．
（2）若射線θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）與曲線C相交于A，B兩點，求|OA|+|OB|的值．

Answer 1

分析 （1）化圓的參數(shù)方程為普通方程，利用過原點的圓的切線的斜率求得$\frac{y}{x}$的范圍；
（2）化圓的直角坐標方程為極坐標方程，和直線線θ=$\frac{π}{4}$聯(lián)立后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，得（x-2）²+y²=3，
如圖，

設過原點的直線方程為y=kx，由圓心（2，0）到直線的距離為$\sqrt{3}$，得
$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{3}$，即$k=±\sqrt{3}$，
∴$\frac{y}{x}$的范圍為[$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$]；
（2）曲線C的極坐標方程可化為ρ²-4ρcosθ+1=0，
把θ=$\frac{π}{4}$代入上式可得：${ρ}^{2}-2\sqrt{2}ρ+1=0$，
設A，B兩點的極徑分別為ρ₁，ρ₂，則${ρ}_{1}+{ρ}_{2}=2\sqrt{2}$．
故|OA|+|OB|=${ρ}_{1}+{ρ}_{2}=2\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查直角坐標方程化極坐標方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．