Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx，對任意的b，c∈[-3，3]．f（x）在（-1，1）內(nèi)既有極大值又有極小值的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，確定f（x）在（-1，1）內(nèi)既有極大值又有極小值，對應(yīng)的區(qū)域的面積，b，c∈[-3，3]，對應(yīng)區(qū)域的面積，即可求出f（x）在（-1，1）內(nèi)既有極大值又有極小值的概率．

解答 解：由題意f′（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）在（-1，1）內(nèi)既有極大值又有極小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0的兩個根在（-1，1）內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4^{2}-12c＞0}\\{-1＜-\frac{3}＜1}\\{3-2b+c＞0}\\{3+2b+c＞0}\end{array}\right.$，對應(yīng)區(qū)域的面積為2${∫}_{0}^{3}（\frac{1}{3}^{2}-2b+3）$=$（\frac{1}{9}^{3}-^{2}+3b）{|}_{0}^{3}$=6，
∵b，c∈[-3，3]，
∴對應(yīng)區(qū)域的面積為36，
∴f（x）在（-1，1）內(nèi)既有極大值又有極小值的概率為$\frac{1}{6}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的極值，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查概率的計算，確定區(qū)域，正確求面積是關(guān)鍵．