Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ） 令${b_n}=\frac{n+1}{S_n^2}（n∈{N^*}）$，證明：對(duì)于任意的n∈N^*，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${T_n}＜\frac{5}{16}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過等差數(shù)列的性質(zhì)及已知條件可知a₉=19，進(jìn)而可求出公差d，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，進(jìn)而并項(xiàng)相加、放縮即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴a₃+a₉=a₅+a₇=26，
又∵a₃=7，
∴a₉=19，d=$\frac{{a}_{9}-{a}_{3}}{9-3}$=$\frac{19-7}{9-3}$=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=7+2n-6=2n+1，
S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）；
（Ⅱ）證明：由（I）可知b_n=$\frac{n+1}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，
則T_n=$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
＜$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）
=$\frac{5}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．