Question

設正項數列{a_n}的前n項和為S_n，向量

a

=（

Sn

，1），

b

=（a_n+1，2）（n∈N^*）滿足

a

∥

b

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}的通項公式為b_n=

an

an+t

（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差數列，求t和m的值；
（3）如果等比數列{c_n}滿足c₁=a₁，公比q滿足0＜q＜

1

2

，且對任意正整數k，c_k-（c_k+1+c_k+2）仍是該數列中的某一項，求公比q的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與向量的綜合,等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用

a

∥

b

，

a

=（

Sn

，1），

b

=（a_n+1，2），可得2

Sn

=a_n+1，即4S_n=（a_n+1）²，再寫一式，兩式相減，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定b_n=

an

an+t

=

2n-1

2n-1+t

，利用b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差數列，建立等式，即可求t和m的值；
（3）先確定c_k-（c_k+1+c_k+2）=q^k-1（1-q-q²）是該數列中的某一項，可得1-q-q²是q的幾次方形式，從而可求公比q的取值范圍．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，

a

=（

Sn

，1），

b

=（a_n+1，2），
∴2

Sn

=a_n+1，
∴4S_n=（a_n+1）²，①
n=1時，a₁=1；
n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²，②
①-②可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴數列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=2n-1；
（2）b_n=

an

an+t

=

2n-1

2n-1+t

，
∵b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差數列，
∴2×

3

3+t

=

1

1+t

+

2m-1

2m-1+t

，
∴m=3+

4

t-1

，
∵m，t都是正整數，
∴t=2，3，5，m=7，5，4；
（3）c_n=q^n-1，
∵c_k-（c_k+1+c_k+2）仍是該數列中的某一項，
∴c_k-（c_k+1+c_k+2）=q^k-1（1-q-q²）是該數列中的某一項，
∴1-q-q²是q的幾次方形式，
∴0＜q＜

1

2

，
∴

1

4

＜1-q-q²＜1，
∴1-q-q²=q，
∴q=

2

-1．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，確定數列的通項是關鍵．