Question

在平面直角坐標系下，曲線C₁：

x=2t+2a y=-t

（t為參數(shù)），曲線C₂：

x=2cosθ y=2+2sinθ

（θ為參數(shù)）．若曲線C₁，C₂有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線的參數(shù)方程,圓的參數(shù)方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：第一步：將曲線C₁，C₂的參數(shù)方程均化為普通方程；
第二步：由曲線C₁，C₂有公共點知，兩方程有公共解，聯(lián)立兩方程，消去y或x，得到關于x或y的一元二次方程，由△≥0即可得a的取值范圍．

解答： 解：由

x=2t+2a y=-t

，消去參數(shù)t，整理得x=2a-2y，…①
由

x=2cosθ y=2+2sinθ

及cos²θ+sin²θ=1，消去參數(shù)θ，得x²+（y-2）²=4，…②
將①代入②中，消去x并整理得5y²-（8a+4）y+4a²=0，
由于曲線C₁，C₂有公共點，所以上面關于y的一元二次方程有實數(shù)解，
所以△≥0，即（8a+4）²-4×5×4a²≥0，
整理得a²-4a-1≤0，解得2-

5

≤a≤2+

5

．
故答案為2-

5

≤a≤2+

5

．

點評：1．本題也可以利用幾何法求解，其思路是：化為普通方程后，由圓心到直線的距離小于或等于圓的半徑，解不等式即可．
2．對于兩曲線的公共點問題，一般從幾何和代數(shù)兩方面考慮，兩種方法各有其優(yōu)缺點，代數(shù)方法具有一般性，但有時計算量比較大；幾何方法計算量一般較少，但有時很難找到恰當?shù)氖阶觼肀硎緢D形的位置關系，應根據(jù)圖形的幾何特征具體對待．