Question

7．已知log${\;}_{\frac{1}{2}}}$a＜log${\;}_{\frac{1}{2}}}$b，則下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． ln（a-b）＞0
• B． $\frac{1}{a}＞\frac{1}$
• C． ${（\frac{1}{4}）^a}＜{（\frac{1}{3}）^b}$
• D． 3^a-b＜1

Answer 1

分析 由題意可得a＞b＞0，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案．

解答 解：∵$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}x$是定義域上的減函數(shù)，且${log_{\frac{1}{2}}}a＜{log_{\frac{1}{2}}}b$，
∴a＞b＞0．
當(dāng)0＜a-b＜1時(shí)，ln（a-b）＜0，
當(dāng)a-b≥1時(shí)，ln（a-b）≥0，∴A錯(cuò)誤；
∵$\frac{1}{a}-\frac{1}=\frac{b-a}{ab}＜0$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}$，B錯(cuò)誤；
∵$y=（\frac{1}{4}）^{x}$是定義域R上的減函數(shù)，
∴$（\frac{1}{4}）^{a}＜（\frac{1}{4}）^$，
又∵y=x^b在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴$（\frac{1}{4}）^＜（\frac{1}{3}）^$，
∴$（\frac{1}{4}）^{a}＜（\frac{1}{3}）^$，C正確；
∵a-b＞0，∴3^a-b＞1，D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)值的比較，屬于中檔題．