Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x²e^x-1-x³-x²（x∈R），
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)求y=f(x)在[-l，2]上的最小值；
(Ⅲ)當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：n∈N*，e^x-1＞。

Answer 1

解：(Ⅰ)，
令，可得，

函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間為（-2，0）和(1，+∞)，減區(qū)間為（-∞，-2）和(0，1)。 
 (Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，，
，
所以，f(x)在上的最小值為。
 (Ⅲ)設(shè)，
當(dāng)n=1時(shí)，只需證明，
當(dāng)時(shí)，，
所以，在上是增函數(shù)，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，
即，
當(dāng)n=k+1時(shí)，
因此，，
所以，在上是增函數(shù)，
所以，，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，
所以，當(dāng)時(shí)，。