Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}。
（1）當(dāng)a∈（-∞，-2）時(shí)，求證：aM；
（2）當(dāng)a∈（0，]時(shí)，求證：a∈M；
（3）當(dāng)a∈（，+∞）時(shí)，判斷元素a與集合M的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）如果a＜-2．則|a₁|=|a|>2，。
（2）當(dāng)時(shí)，
事實(shí)上，①當(dāng)n=1時(shí)，
假設(shè)n=k-1時(shí)成立（k≥2，k∈N*）
②對(duì)
由歸納假設(shè)，對(duì)任意n∈N*

所以a∈M。
（3）當(dāng)時(shí)，
證明如下：對(duì)于任意n≥1

且
對(duì)于任意n≥1


所以
當(dāng)時(shí)，
即2，因此。