Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．設AD、PB、PC中點分別為E、F、G．
（Ⅰ）求證：PB⊥AD；
（Ⅱ）求證：EF∥平面PCD；
（Ⅲ）若PB=$\sqrt{6}$，求四面體G-BCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結PE、BE，由已知得PE⊥AD，BE⊥AD，從而AD⊥平面BPE，由此能證明PB⊥AD．
（Ⅱ）連結AC，交BD于O，連結EO、FO，由已知得OE∥CD，OF∥PD，從而平面EFO∥平面PDC，由此能證明EF∥平面PCD．
（Ⅲ）由PB=$\sqrt{6}$，由勾股定理得PE=$\sqrt{3}$，G到平面BDC的距離為$\frac{1}{2}PE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出四面體G-BCD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連結PE、BE，
∵底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°，AD、PB、PC中點分別為E、F、G，
∴PE⊥AD，BE⊥AD，
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面BPE，
∵PB?平面BPE，∴PB⊥AD．
（Ⅱ）連結AC，交BD于O，連結EO、FO，
∵AD、PB中點分別為E、F，∴OE∥CD，OF∥PD，
∵EO∩FO=O，PD∩DC=D，
∴平面EFO∥平面PDC，
∵EF?平面EFO，∴EF∥平面PCD．
解：（Ⅲ）∵PB=$\sqrt{6}$，BE=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，∴PE=$\sqrt{6-3}$=$\sqrt{3}$，
${S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×BC×BE$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵G是PC的中點，∴G到平面BDC的距離為$\frac{1}{2}PE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四面體G-BCD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BDC}×（\frac{1}{2}PE）$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面平行的證明，生查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．