Question

8．求證：關(guān)于x的方程sin（cosx）=x在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)解．

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)F（x）=sin（cosx）-x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），只需證函數(shù)為單調(diào)函數(shù)且兩端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)即可．

解答 證明：構(gòu)造函數(shù)F（x）=sin（cosx）-x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
F'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-1，
因?yàn)閏os（cosx）∈[cos1，1]，sinx∈[-1，1]，
所以，F(xiàn)'（x）≤0恒成立，
即F（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，
又因?yàn)镕（0）=sin（cos0）-0=sin1＞0，
F（$\frac{π}{2}$）=sin（cos$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{2}$=-$\frac{π}{2}$＜0，
所以，F(xiàn)（0）•F（$\frac{π}{2}$）＜0，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)F（x）在（0，$\frac{π}{2}$）有唯一零點(diǎn)，
即方程sin（cosx）=x在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，涉及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值符號(hào)的判斷，屬于中檔題．