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【題目】設數列 的前項和為,對一切,點都在函數的圖象上.

1)求,歸納數列的通項公式(不必證明);

2)將數列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為, ;,,;,,分別計算各個括號內各數之和,設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為,求的值;

3)設為數列的前項積,若不等式對一切都成立,其中,求的取值范圍.

【答案】1,,;(22010;(3.

【解析】

1)點坐標代入函數解析式,得,令依次可求得,歸納出通項公式;

2)依題意,每一次循環(huán)記為一組.由于每一個循環(huán)含有4個括號,故是第25組中第4個括號內各數之和.這樣可求得(注意規(guī)律),而,因此結論易用得

3)由,得,不等式對一切都成立, 就是對一切都成立,

,則只需即可.用作商的方法說明是遞減數列,從而問題易求解.

1)因為點在函數的圖象上,故,所以.

,得,所以;令,得,所以,,……

由此猜想:.

2)因為,所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為(2),(4,6),(8,1012),(1416,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),….

每一次循環(huán)記為一組.由于每一個循環(huán)含有4個括號,故是第25組中第4個括號內各數之和.由分組規(guī)律知,由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列,且公差為20.

同理,由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列,且公差均為20. 故各組第4個括號中各數之和構成等差數列,且公差為80.

注意到第一組中第4個括號內各數之和是68,

所以.,所以.

3)因為,故,所以.

,故對一切都成立,

就是對一切都成立,

,則只需即可.

由于,所以,故是單調遞減,

于是,解得.

練習冊系列答案
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