Question

在△ABC中，已知AC=1，∠BAC=60°，S_△ABC=

3

．
（1）求sin∠ACB的值；
（2）記BC邊上的中線為AD，求AD的長．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）由三角形的面積公式S_△ABC=

1

2

AC•AB•sin∠BAC，即可求得AB=4，再由余弦定理，求得BC=

13

，在△ABC中，運用正弦定理，即可得到sin∠ACB；
（2）在△ABC中和△ACD中，分別應(yīng)用余弦定理，求出cos∠ACB，解方程即可得到AD的長．

解答： 解：（1）由于AC=1，∠BAC=60°，S_△ABC=

3

，
則S_△ABC=

1

2

AC•AB•sin∠BAC=

3

，
即

1

2

×1•AB•sin60°=

3

，
即

3

4

AB=

3

，則AB=4，
由余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos60°
=16+1-2×4×1×

1

2

=13，即BC=

13

，
在△ABC中，

13

sin60°

=

4

sin∠ACB

，
則sin∠ACB=

2 3

13

=

2 39

13

；
（2）在△ABC中，cos∠ACB=

1+13-16

2 13

，
在△ACD中，cos∠ACB=

1+ 13 4 -AD2

13

，
即有

17

4

-AD²=-1，
即AD=

21

2

．

點評：本題考查正弦定理和余弦定理及面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．