Question

2．F₁、F2分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，橢圓上的點到F₂的最近距離為4，最遠距離為16．
（1）求橢圓的方程；
（2）P為該橢圓上一點，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）由橢圓上的點到焦點的距離的最小值為a-c，最大值為a+c解方程可得a，c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進而得到橢圓方程；
（2）利用橢圓的定義與余弦定理即可求得|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，再利用正弦定理即可求得△F₁PF₂的面積．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，
由題意可得a-c=4，a+c=16，
解方程可得a=10，c=6，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=8，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1；
（2）由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=2c=12，
又∠F₁PF₂=60°，
∴由余弦定理得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即4c²=4a²-3|PF₁|•|PF₂|，
∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{256}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和簡單性質(zhì)，著重考查橢圓的定義及余弦定理、面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．