Question

5．若函數(shù)f（x）=2^|x-a|（a∈R）滿足f（2+x）=f（2-x），且f（x）在[m，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值為2．

Answer 1

分析 由f（x）的解析式便知f（x）關(guān)于x=a對稱，而由f（1+x）=f（3-x）知f（x）關(guān)于x=2對稱，從而得出a=2，這樣便可得出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2，+∞），而f（x）在[m，+∞）上單調(diào)遞增，從而便得出m的最小值為2

解答 解：∵f（x）=2^|x-a|；
∴f（x）關(guān)于x=a對稱；
又f（2+x）=f（2-x）；
∴f（x）關(guān)于x=2對稱；
∴a=2；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-2}}\\{{2}^{-x+2}}\end{array}\right.$；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2，+∞）；
又f（x）在[m，+∞）上單調(diào)遞增；
∴實(shí)數(shù)m的最小值為2．
故答案為：2

點(diǎn)評 考查函數(shù)圖象的對稱性，清楚f（x）=|x-a|的圖象關(guān)于x=a對稱，由f（x+a）=f（b-x）知f（x）關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對稱，以及指數(shù)函數(shù)和分段函數(shù)的單調(diào)性