Question

如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率，又橢圓上的任一點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若平行于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，過、兩點(diǎn)作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外.求的面積的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題干條件求出、的值，進(jìn)而求出的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出，根據(jù)題中條件得到點(diǎn)的坐標(biāo)使得取得最小值，從而得出，最后再求出面積的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)或基本不等式求出的最大值.

試題解析：（1）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由題意得，解的，，，

所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由橢圓的對稱性，可設(shè)，又設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則

，，

所以當(dāng)時(shí)，取最小值，

又由題意得：是橢圓上任意一點(diǎn)到的距離最小的點(diǎn)，

設(shè)，因此當(dāng)時(shí)，取最小值，

又因，所以，

由對稱性知，故，所以

S，

所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值.

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.圓與橢圓的位置關(guān)系；3.二次函數(shù)