Question

2．在底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)有一個(gè)高為$\sqrt{3}$的圓柱．
（1）求：圓柱表面積的最大值；
（2）在（1）的條件下，求該圓柱外接球的表面積和體積．

Answer 1

分析 （1）我們可計(jì)算出圓柱的底面半徑，代入圓柱表面積公式，即可得到答案；
（2）求出圓柱的外接球半徑，即可求該圓柱外接球的表面積和體積．

解答 解：（1）當(dāng)圓柱內(nèi)接于圓錐時(shí)，圓柱的表面積最大．
設(shè)此時(shí)，圓柱的底面半徑為r，高為h′．
圓錐的高h(yuǎn)=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
又∵h(yuǎn)′=$\sqrt{3}$，
∴h′=$\frac{1}{2}$h．∴$\frac{r}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，∴r=1．
∴S_表面積=2S_底+S_側(cè)=2πr²+2πrh′
=2π+2π×$\sqrt{3}$=2（1+$\sqrt{3}$）π．（6分）
（2）設(shè)圓柱的外接球半徑為R.$R=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
∴S=7π$V=\frac{{7\sqrt{7}π}}{6}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓柱的表面積，其中根據(jù)已知條件，求出圓柱的底面半徑，是解答本題的關(guān)鍵．