Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，再將所得函數(shù)圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意求出T，利用周期公式求出ω，利用f（$\frac{11}{6}$π）=0，可求φ，又由f（0）=2，得A的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由圖得：$\frac{3}{4}$T=$\frac{11}{6}$π-$\frac{π}{3}$=$\frac{9}{6}$π=$\frac{3}{2}$π，（1分）
∴T=2π，（2分）
∴ω=$\frac{2π}{T}$=1．（3分）
又f（$\frac{11}{6}$π）=0，得：Asin（$\frac{11}{6}$π+φ）=0，
∴$\frac{11}{6}$π+φ=2kπ，φ=2kπ-$\frac{11}{6}$π，（4分）
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=1時(shí)，φ=$\frac{π}{6}$．（5分）
又由f（0）=2，得：Asinφ=2，A=4，（6分）
∴f（x）=4sin（x+$\frac{π}{6}$）．（7分）
（2）將f（x）=4sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=4sin（2x+$\frac{π}{6}$），（8分）
再將圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到g（x）=4sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），（9分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：（10分）
kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z），（11分）
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．（12分）
$當(dāng)k=0時(shí)，得[{0，\frac{π}{2}}]的遞增區(qū)間為[{0，\frac{π}{3}}]$．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，注意函數(shù)的周期的求法，考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．