Question

已知直線

2

ax+by=1（其中a，b為非零實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，則

1

a2

+

2

b2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由直線

2

ax+by=1（其中a，b為非零實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，可得|AB|=

2

．圓心O（0，0）到直線

2

ax+by=1的距離d=

2

2

，可得2a²+b²=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵直線

2

ax+by=1（其中a，b為非零實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，
∴|AB|=

2

r=

2

．
∴圓心O（0，0）到直線

2

ax+by=1的距離d=

1

2a2+b2

=

2

2

，化為2a²+b²=2．
∴

1

a2

+

2

b2

=

1

2

(2a2+b2)(

1

a2

+

2

b2

)=

1

2

(2+2+

b2

a2

+

4a2

b2

)≥

1

2

(4+2

b2 a2 • 4a2 b2

)=4，當(dāng)且僅當(dāng)b²=2a²=1取等號(hào)．
∴

1

a2

+

2

b2

的最小值為 4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交問(wèn)題弦長(zhǎng)問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．