Question

20．已知圓C：x²+y²=2，點(diǎn)P（2，0），M（0，2），設(shè)Q為圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求△QPM面積的最大值，并求出最大值時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）在（1）的結(jié)論下，過(guò)點(diǎn)Q作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線QA、QB的傾斜角互補(bǔ)，問(wèn)直線AB與直線PM是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出|PM|=2$\sqrt{2}$，設(shè)點(diǎn)Q到PM的距離為h，圓心C到PM的距離為d，△QPM面積的最大值即需要h取的最大值，此時(shí)點(diǎn)Q與圓心C的連線與PM垂直，由此能求出結(jié)果．
（2）設(shè)直線QA的斜率為k，則直線QB斜率為-k，直線QA的方程：y+1=k（x+1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x+1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-1=0，從而求出x_A，x_B，由此能求出直線AB與直線PM垂直．

解答 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（2，0），M（0，2），所以|PM|=2$\sqrt{2}$，
設(shè)點(diǎn)Q到PM的距離為h，圓心C到PM的距離為d，
所以${S}_{△QPM}=\frac{1}{2}|PM|•h$=$\sqrt{2}h$．
△QPM面積的最大值即需要h取的最大值，
此時(shí)點(diǎn)Q與圓心C的連線與PM垂直，
故有最大值h=d+r=$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
最大面積${S}_{△QPM}=\sqrt{2}•2\sqrt{2}=4$，
此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為點(diǎn)（-1，-1）． 
（2）直線AB與直線PM垂直，理由如下：
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)Q（-1，-1）作兩條相異直線分別與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，
直線QA、QB的傾斜角互補(bǔ)，所以直線QA、QB斜率都存在．
設(shè)直線QA的斜率為k，則直線QB斜率為-k，
所以直線QA的方程：y+1=k（x+1）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x+1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-1=0，
又因?yàn)辄c(diǎn)Q（-1，-1）在圓C上，
故有${x}_{A}•（-1）=\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$，
所以x_A=$\frac{-{k}^{2}+2k+1}{1+{k}^{2}}$，同理${x}_{B}=\frac{-{k}^{2}-2k+1}{1+{k}^{2}}$，
${k}_{AB}=\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{B}+1）-1-k（{x}_{A}+1）+1}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{B}+{x}_{A}）-2k}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=1，
又k_PM=$\frac{2-0}{0-2}=-1$，所以有k_PM•k_AB=-1，故直線AB與直線PM垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查兩直線是否垂直的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程與圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．