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10.多面體ABCDEF中,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AF=2,AB=AD=3,BC=DC=1,∠BAD=60°,且B、C、E、F四點(diǎn)共面.
(1)求線段DE的長(zhǎng)度;
(2)求二面角B-EF-D的余弦值.

分析 (1)連接AC、BD,推導(dǎo)出DA⊥DC,從而DA、DC、DE是兩兩垂直,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,利用向量法能求出DE的長(zhǎng).
(2)求出平面BEF的法向量和平面DEF的一個(gè)法向量,利用向量法能求出二面角B-EF-D的余弦值.

解答 解:(1)連接AC、BD,△ABD中,AB=AD=3,∠BAD=60o,
∴BD=3,∠ADB=60o,△BCD中,BC=DC=1,∴∠BDC=30o,
∴∠ADC=90o,即DA⊥DC,
∵DE⊥平面ABCD,∴DA、DC、DE是兩兩垂直,
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則點(diǎn)A(3,0,0),B(32,32,0),C(0,1,0),D(0,0,0),F(xiàn)(3,0,2),設(shè)E(0,0,h),
CB=(32120),CF=(310),CE=(0,-1,h),
∵B、C、E、F四點(diǎn)共面,∴λ,μ∈R,使得CE=λ\overrightarrow{CB}+μ\overrightarrow{CF},
\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{3}λ+\sqrt{3}μ=0}\\{\frac{1}{2}λ-μ=-1}\\{2μ=h}\end{array}\right.,解得λ=-1,μ=\frac{1}{2},h=1,∴E(0,0,1),
即DE=1.
 (2)∵\overrightarrow{EB}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},-1),\overrightarrow{EF}=(\sqrt{3},0,1),設(shè)平面BEF的法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\sqrt{3}x+z=0}\end{array}\right.,得平面BEF的一個(gè)法向量為\overrightarrow{n}=(-1,\sqrt{3},\sqrt{3}),
∴取平面DEF的一個(gè)法向量\overrightarrow{DC}=(0,1,0),
設(shè)二面角B-EF-D的平面角為θ,
則cosθ=\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DC}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}
∴二面角B-EF-D的余弦值為\frac{\sqrt{21}}{7}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,如何體現(xiàn)四點(diǎn)共面及二面角的計(jì)算,常見的問(wèn)題有證明類--平行與垂直的證明;計(jì)算類--角度(線線角,線面角,二面角);長(zhǎng)度(線度、點(diǎn)面、線面、面面距離).

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