Question

2．如圖所示，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，BC與過點D的切線l交于點E，CD是∠BDE的角平分線，AD⊥CD．
（1）證明：∠ADB=∠ABD；
（2）設(shè)⊙O的半徑r=2，BD=2$\sqrt{3}$，求△BDE的外接圓的面積．

Answer 1

分析 （1）通過證明：△ADC≌△ABC，即可證明∠ADB=∠ABD；
（2）設(shè)⊙O的半徑r=2，BD=2$\sqrt{3}$，求出∠BCD=60°，利用正弦定理求出半徑，即可求△BDE的外接圓的面積．

解答 （1）證明：∵CD是∠BDE的角平分線，
∴∠EDC=∠BDC，
∵∠DAC=∠EDC，∠BAC=∠BDC，
∴∠DAC=∠BAC，
∵AD⊥CD，∴AB⊥CB，
∴△ADC≌△ABC，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD；
（2）解：設(shè)AC與BD相交于F，則3=AF•（4-AF），
∴AF=1，
∴tan∠DAF=$\sqrt{3}$，
∴∠DAF=60°，
∴∠DAB=120°，
∴∠BCD=60°
設(shè)△BDE的外接圓的半徑為R，則2R=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴R=2，
∴△BDE的外接圓的面積S=4π•2²=16π．

點評 本題考查三角形全等的證明與性質(zhì)的運用，考查射影定理，考查正弦定理，屬于中檔題．