Question

函數(shù)f（x）=x²+ax-alnx．
（1）a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）a＞1時，求函數(shù)f（x）在[1，a]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=1帶入函數(shù)解析式，求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f′（x），判斷f（x）取極值的情況，判斷出函數(shù)f（x）有極小值．所以對于f（x）在[1，a]上的最大值情況，只要比較端點處的值即可．令g（a）=f（a）-f（1），通過求g′（a），判斷出g（a）＞0，或＜0即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²+x-lnx，f′（x）=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

x

；
令2x²+x-1=0得：x=

1

2

，或-1（舍去）；
∴x∈（0，

1

2

）時，f′（x）＜0；x∈（

1

2

，+∞）時，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是：（0，

1

2

）；單調(diào)增區(qū)間是：（

1

2

，+∞）；
（2）f′（x）=2x+a-

a

x

=

2x2+ax-a

x

；
令2x²+ax-a=0，∵a＞1，∴方程的根為：x1=

-a- a2+8a

4

＜0（舍去），x2=

-a+ a2+8a

4

；
∵x1•x2=-

a

2

＜0，∴x₂＞0；
∴x∈（0，x₂）時，f′（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0；
∴x₂是f（x）的極小值點；
∴f（x）在[1，a]上的最大值是f（1），f（a）中較大者；
設(shè)g（a）=f（a）-f（1）=2a²-a-alna-1；
g′（a）=4a-lna-3；
設(shè)h（a）=g′（a），則：h′（a）=4-

1

a

＞0；
∴h（a）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
∴h（a）＞h（1）=4-3＞0，即g′（a）＞0；
∴g（a）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
∴g（a）＞g（1）=0；
∴f（a）＞f（1）；
∴函數(shù)f（x）在[1，a]上的最大值為f（a）=2a²-alna．

點評：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)極值的概念，比較f（a）和f（1）用的方法．