Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=cos2x-2

3

sinxcosx，下列命題：
①若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂）成立；
②f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上是單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（

π

12

，0）成中心對稱圖象；
④將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

5π

12

個單位后將與y=2sin2x的圖象重合．
其中正確的命題序號

 

（注：把你認(rèn)為正確的序號都填上）

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角恒等變換求得f（x）=2cos（2x+

π

3

），顯然函數(shù)的周期為π，再根據(jù)函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性，可得結(jié)論

解答： 解：函數(shù)f（x）=cos2x-2

3

sinxcosx=2（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x）=2cos（2x+

π

3

），顯然函數(shù)的周期為π，
若存在x₁，x₂，有x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂）成立，故①正確．
在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上，2x+

π

3

∈[0，π]，函數(shù)f（x）=2cos（2x+

π

3

）是減函數(shù)，故②不正確．
當(dāng)x=

π

12

時，f（x）=0，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（

π

12

，0）成中心對稱圖象，故③正確．
將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

5π

12

個單位后將，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2cos[2（x-

5π

12

）+

π

3

]=2cos（2x-

π

2

）=2sin2x，
故④正確，
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．