Question

已知e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）比較ln2和

13

20

的大�。�

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知可得f′（x）=

1

x+1

-1+x，當x∈[0，+∞）時f′（x）≥0，得函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）可用分析法比較ln2和

13

20

的大小．

解答： 解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

，
則f′（x）=

1

x+1

-1+x

x2

x+1

，
故當x∈[0，+∞）時f′（x）≥0，
則函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

在[0，+∞）上的最小值為0；
（Ⅱ）可知ln2＞

13

20

（用分析法比較ln2和

13

20

的大小）
下面給出證明：ln2＞

13

20

，只需證ln4＞

13

10

，
只需證ln

4

e

＞

3

10

，
而由（Ⅰ）知ln（x+1）≥x-

x2

2

（x≥0）
所以ln[1+（

4

e

-1）]≥（

4

e

-1）-

1

2

(

4

e

-1)2
只需證（

4

e

-1）-

1

2

(

4

e

-1)2＞

3

10

，
即需證明4（e-1）＞0.9e²
而e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，
故4（e-1）＞0.9e²恒成立，
從而ln2＞

13

20

得證

點評：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，解題時要注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用，以及不等式證明中的分析法的應用．