Question

20．若直線y=-x+k與曲線x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個公共點，則k的取值范圍k=-$\sqrt{2}$或k∈（-1，1]．

Answer 1

分析 把直線和曲線的圖象畫出來，如圖所示，得到曲線為一個半個單位圓，根據(jù)直線y=-x+k與曲線x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個公共點由圖象即可求出k的取值范圍．

解答 解：根據(jù)圖象可知：半圓的圓心坐標為（0，0），半徑r=1，
當直線y=-x+k與y軸的交點的縱坐標在（-1，1]時，直線y=-x+k與曲線x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個公共點，即k∈（-1，1]；
當直線y=-x+k與半圓在第三象限相切時，直線y=-x+k與曲線x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個公共點，
所以圓心到直線的距離d=1，解得k=$\sqrt{2}$（舍去）或k=-$\sqrt{2}$，
綜上，k的取值范圍是：k=-$\sqrt{2}$或k∈（-1，1]．
故答案為：k=-$\sqrt{2}$或k∈（-1，1]．

點評 此題考查學生掌握直線與圓相切時滿足的關(guān)系，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，是一道中檔題．根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象是解本題的關(guān)鍵．