Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a+1）x+lnx（a＞0），x=$\frac{1}{4}$是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2））定義：定義域?yàn)镸的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），若$\frac{h（x）-g（x）}{{x-{x_0}}}$＞0在M內(nèi)恒成立，則稱(chēng)P為函數(shù)y=h（x）的“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”．問(wèn)：函數(shù)y=f（x）是否存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，進(jìn)而即可得出答案；
（2）利用“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的定義及導(dǎo)數(shù)即可得出答案．

解答 解：（1）∵f′（x）=ax-a-1+$\frac{1}{x}$，
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，無(wú)極值，
當(dāng)$\frac{1}{a}$＜1時(shí)，即a＞1時(shí)，在區(qū)間（-∞，$\frac{1}{a}$），（1，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
在（$\frac{1}{a}$，1）上，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時(shí)，函數(shù)有極大值，故$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{4}$，解得a=4，
當(dāng)$\frac{1}{a}$＞1時(shí)，即0＜x＜1時(shí)，在區(qū)間（-∞，1），（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
在（1，$\frac{1}{a}$，）上，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f （x）有極大值，不滿足條件
故求實(shí)數(shù)a的值為4．
（2）由（Ⅰ）可得f（x）=2x²-5x+lnx，
∴f′（x）=4x-5+$\frac{1}{x}$=$\frac{4{x}^{2}-5x+1}{x}$，
點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x）=$\frac{{4x}_{0}^{2}-5{x}_{0}+1}{{x}_{0}}$（x-x₀）+2x₀²-5x₀+lnx₀，
函數(shù)y=f（x）存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)“等價(jià)于：
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，f（x）-g（x）＜0恒成立，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）-g（x）＞0恒成立，
令φ（x）=f（x）-g（x）=2x₀x²-（4x₀²+1）x+x₀lnx+2x₀³+x₀-x₀lnx₀，
則φ（x₀）=2x₀³-4x₀³-x₀+x₀lnx₀+2x₀³+x₀-x₀lnx₀=0，
∴φ′（x）=$\frac{1}{x}$[4x₀x²-（4x₀²+1）+x₀]=$\frac{1}{x}$（4x₀x-1）（x-x₀）
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，要使f（x）-g（x）＜0恒成立，只需要φ（x）在（0，x₀）是增函數(shù)，
只要4x₀x-1＜0，即x＜$\frac{1}{4{x}_{0}}$在（0，x₀）上恒成立，
∴x₀≤$\frac{1}{4{x}_{0}}$，
解得0＜x₀≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）-g（x）＞0恒成立，只需要φ（x）在（x₀，+∞）是增函數(shù)，
只要4x₀x-1＞0，即x＞$\frac{1}{4{x}_{0}}$在（x₀，+∞））上恒成立，
∴x₀≥$\frac{1}{4{x}_{0}}$，
解得x₀≥$\frac{1}{2}$，
∴存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，”類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)“的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，新概念的引出，滲透了分類(lèi)討論思想，屬于難題．