Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+2，k∈R．
（1）若k=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＜2在R⁺上恒成立，求k的取值范圍；
（3）若x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂＜ex₁x₂，求證x₁+x₂＞1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為k＞$\frac{lnx}{x}$ 在R⁺上恒成立，設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出k的范圍即可；
（3）根號(hào)g（x）的單調(diào)性，得到即$\frac{{\frac{1}{x_1}ln（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}）}}{{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}}＞ln\frac{1}{x_1}$，$\frac{{\frac{1}{x_2}ln（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}）}}{{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}}＞ln\frac{1}{x_2}$，相加整理即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
${f^/}（x）=\frac{1}{x}-1$…．（1分）
∵${f^/}（x）=\frac{1}{x}-1＞0$，∴0＜x＜1，
∵${f^/}（x）=\frac{1}{x}-1＜0$，∴x＞1…．（2分）
故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）…．（3分）
（2）欲使f（x）＜2?lnx-kx＜0＜在R⁺上恒成立，
只需k＞$\frac{lnx}{x}$ 在R⁺上恒成立…．（4分）
設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
x∈（0，e），g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
x∈（e，+∞），g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
∴x=e時(shí)，g（e）=$\frac{1}{e}$是最大值，
只需$\frac{1}{e}$＜k，即k＞$\frac{1}{e}$…（6分）
（3）∵$e＞\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}＞\frac{1}{x_1}＞0$由（2）可知g（x）在（0，e）上單調(diào)增，…（7分）
$\frac{{ln（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}）}}{{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}}＞\frac{{ln\frac{1}{x_1}}}{{\frac{1}{x_1}}}$，即$\frac{{\frac{1}{x_1}ln（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}）}}{{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}}＞ln\frac{1}{x_1}$，
同理$\frac{{\frac{1}{x_2}ln（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}）}}{{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}}＞ln\frac{1}{x_2}$…（9分）
相加得 $\frac{{（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}）ln（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}）}}{{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}}＞ln\frac{1}{x_1}+ln\frac{1}{x_2}$，
∴$ln（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}）＞ln\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}$，
得：x₁+x₂＞1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查不等式的證明，是一道綜合題．