Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且BC邊上的高為$\frac{a}{2}$，則當(dāng)$\frac{c}$+$\frac{c}$取得最大值時(shí)，內(nèi)角A=（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 運(yùn)用三角形的面積公式和余弦定理，可得$\frac{c}$+$\frac{c}$=2（sinA+cosA），再由兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，可得最大值及A的值．

解答 解：由三角形的面積公式可得，
$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{a}{2}$，
即a²=2bcsinA，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA，
可得b²+c²-2bccosA=2bcsinA，
即有$\frac{c}$+$\frac{c}$=2（sinA+cosA）
=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA）
=2$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{4}$時(shí)，$\frac{c}$+$\frac{c}$取得最大值2$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理和三角形的面積公式的運(yùn)用，以及兩角和的正弦公式及正弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．