分析 (1)設(shè)以點M(12,12)為中點的弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),利用點差法能求出直線AB的方程.
(2)設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r1,利用余弦定理得cos∠F1PF2=22r1r2-1,又r1r2≤(r1+r22)2=a2,由此能求出當(dāng)P為短軸端點時,∠F1PF2最大.
(3)由題意,設(shè)所求的橢圓方程為x2a2+y2a2−9=1(a2>9),將y=x+9代入上述橢圓方程,得(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0,由此利用根的判別式能求出橢圓方程.
解答 解:(1)設(shè)以點M(12,12)為中點的弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=1,y1+y2=1,
把A(x1,y1),B(x2,y2)代入橢圓E:x212+y23=1,
得{x1212+y123=1x2212+y223=1,∴kAB=y2−y1x2−x1=-x2+x14(y2+y1)=-14,(2分)
∴直線AB的方程為y-12=-14(x-12),即2x+8y-5=0.(3分)
(2)設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r1,
則cos∠F1PF2=r12+r22−4c22r1r2=(r1+r2)2−4c22r1r2-1=422r1r2-1=22r1r2-1,(5分)
又r1r2≤(r1+r22)2=a2(當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時取等號)
∴當(dāng)r1=r2=a,即P(0,±√3)時,cos∠F1PF2最小,(6分)
又∠F1PF2∈(0,π),∴當(dāng)P為短軸端點時,∠F1PF2最大.(7分)
(3)∵a12=12,12=3,∴c12=9.(8分)
則由題意,設(shè)所求的橢圓方程為x2a2+y2a2−9=1(a2>9),
將y=x+9代入上述橢圓方程,消去y,得(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0,
依題意△=(18a2)2-4(2a2-9)(90a2-a4)≥0,(10分)
化簡得(a2-45)(a2-9)≥0,
∵a2-9>0,∴a2≥45,
故所求的橢圓方程為x245+y236=1.(12分)
點評 本題考查直線方程、橢圓方程的求法,考查當(dāng)P在何位置時,∠F1PF2最大的判斷與求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意根的判別式、余弦定理、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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A. | 若x≥1或 x≤-1,則 x2≥1 | B. | 若-1<x<1,則 x2<1 | ||
C. | 若x>1或x<-1,則 x2>1 | D. | 若 x2≥1,則 x≥1或 x≤-1 |
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