Question

8．已知直線l：x-y+9=0，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
（1）過點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）且被M點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；
（2）P是橢圓E上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)P在何位置時(shí)，∠F₁PF₂最大，并說明理由；
（3）求與橢圓E有公共焦點(diǎn)，與直線l有公共點(diǎn)，且長軸長最小的橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)以點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出直線AB的方程．
（2）設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₁，利用余弦定理得cos∠F₁PF₂=$\frac{2^{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$-1，又r₁r₂≤（$\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}$）²=a²，由此能求出當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F₁PF₂最大．
（3）由題意，設(shè)所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-9}$=1（a²＞9），將y=x+9代入上述橢圓方程，得（2a²-9）x²+18a²x+90a²-a⁴=0，由此利用根的判別式能求出橢圓方程．

解答 解：（1）設(shè)以點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{4（{y}_{2}+{y}_{1}）}$=-$\frac{1}{4}$，（2分）
∴直線AB的方程為y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$），即2x+8y-5=0．（3分）
（2）設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₁，
則cos∠F₁PF₂=$\frac{{{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}-4{c}^{2}}{2{r}_{1}{r}_{2}}$=$\frac{（{r}_{1}+{r}_{2}）^{2}-4{c}^{2}}{2{r}_{1}{r}_{2}}$-1=$\frac{4^{2}}{2{r}_{1}{r}_{2}}$-1=$\frac{2^{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$-1，（5分）
又r₁r₂≤（$\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}$）²=a²（當(dāng)且僅當(dāng)r₁=r₂時(shí)取等號(hào)）
∴當(dāng)r₁=r₂=a，即P（0，$±\sqrt{3}$）時(shí)，cos∠F₁PF₂最小，（6分）
又∠F₁PF₂∈（0，π），∴當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F₁PF₂最大．（7分）
（3）∵${{a}_{1}}^{2}$=12，${_{1}}^{2}$=3，∴${{c}_{1}}^{2}$=9．（8分）
則由題意，設(shè)所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-9}$=1（a²＞9），
將y=x+9代入上述橢圓方程，消去y，得（2a²-9）x²+18a²x+90a²-a⁴=0，
依題意△=（18a²）²-4（2a²-9）（90a²-a⁴）≥0，（10分）
化簡(jiǎn)得（a²-45）（a²-9）≥0，
∵a²-9＞0，∴a²≥45，
故所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程、橢圓方程的求法，考查當(dāng)P在何位置時(shí)，∠F₁PF₂最大的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、余弦定理、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．