Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x-$\frac{1}{a}$|（x∈R，實(shí)數(shù)a＞0）．
（1）若f（0）＞$\frac{5}{2}$，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：f（x）≥$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|a|+|$\frac{1}{a}$|＞$\frac{5}{2}$，可得 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a+\frac{1}{a}＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+\frac{1}{a}＜-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$ ②．分別求得①和②的解集，再取并集，即得所求．
（2）根據(jù)-a和$\frac{1}{2a}$的符號(hào)相反，可得f（x）≥f（0）=|a|+|$\frac{1}{a}$|，再利用基本不等式，證得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得|a|+|$\frac{1}{a}$|＞$\frac{5}{2}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a+\frac{1}{a}＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+\frac{1}{a}＜-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$ ②．
解①求得0＜a＜$\frac{1}{2}$ 或a＞2，解②求得a＜-2或-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
故a的范圍為{a|0＜a＜$\frac{1}{2}$ 或a＞2 或a＜-2或-$\frac{1}{2}$＜a＜0}．
（2）證明：∵函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x-$\frac{1}{a}$|，-a和$\frac{1}{2a}$的符號(hào)相反，
∴f（x）≥f（0）=|a|+|$\frac{1}{a}$|≥2$\sqrt{|a|•|\frac{1}{a}|}$=2，即 f（x）≥$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值的意義，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．