Question

18．設(shè)A、B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上兩點(diǎn)，C為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，已知點(diǎn)F是△ABC的重心．
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）試推斷△ABC能否為以AB為底邊的等腰三角形？若能求出a，b應(yīng)滿足的關(guān)系；若不能請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得C（0，b），F(xiàn)（c，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由重心坐標(biāo)公式可得，AB的中點(diǎn)，再由中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，結(jié)合離心率公式可得范圍；
（2）假設(shè)△ABC為以AB為底邊的等腰三角形，即有AC=BC，CF⊥AB，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及點(diǎn)差法，即可得到a，b的范圍．

解答 解：（1）由題意可得C（0，b），F(xiàn)（c，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由重心坐標(biāo)公式可得，
x₁+x₂+0=3c，y₁+y₂+b=0，
即有AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)，可得
x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3c}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{2}$，
由題意可得中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，
可得$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$＜1，
即為e²＜$\frac{1}{3}$，即有0＜e＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）假設(shè)△ABC為以AB為底邊的等腰三角形，
即有AC=BC，CF⊥AB，
由（1）可得x₁+x₂=3c，y₁+y₂=-b，
由橢圓方程可得，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
即有k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3^{2}c}{{a}^{2}b}$=$\frac{3bc}{{a}^{2}}$，
由兩直線垂直的條件可得，
k_CF=-$\frac{c}$=-$\frac{{a}^{2}}{3bc}$，
即有a²=3b²，即為a=$\sqrt{3}$b．
故△ABC能以AB為底邊的等腰三角形，且a=$\sqrt{3}$b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查橢圓離心率的范圍的求法，注意運(yùn)用三角形的重心坐標(biāo)以及中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．