已知函f(x)=
1
2
cosx-
1
2
sinx

(Ⅰ)求函f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)f(a)=
3
2
10
,求sin2a的值.
分析:(Ⅰ)利用三角函數(shù)間的關(guān)系式將f(x)化為f(x)=
2
2
cos(x+
π
4
),即可求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)可求得cos(α+
π
4
)=
3
5
,利用二倍角的余弦可求得cos(
π
2
+2α),再利用誘導(dǎo)公式即可得答案.
解答:解:(Ⅰ)由已知,f(x)=
1
2
cosx-
1
2
sinx
=
2
2
cos(x+
π
4
),
∴f(x)的最小正周期為2π,
由2kπ-π≤x+
π
4
≤2kπ(k∈Z)得:
2kπ-
4
≤x≤2kπ-
π
4
(k∈Z),
∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[2kπ-
4
,2kπ-
π
4
](k∈Z);…(6分)
(Ⅱ)由(1)知,f(α)=
2
2
cos(α+
π
4
)=
3
2
10
,
∴cos(α+
π
4
)=
3
5

∴sin2α=-cos(
π
2
+2α)
=-cos2(α+
π
4

=1-2cos2(α+
π
4
)

=1-
18
25

=
7
25
,…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查兩角和與差的余弦函數(shù),考查輔助角公式與二倍角的余弦及誘導(dǎo)公式,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函f(x)=ex-x (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集為P,若M={x|
12
≤x≤2
}且M∩P≠∅求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫n0f(x)dx,是否存在等差數(shù)列{an}和首項(xiàng)為f(I)公比大于0的等比數(shù)列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,請(qǐng)求出數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•溫州一模)已知函f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),且滿足對(duì)任意x∈R,都有f[f(x)-2x]=3,若則f(3)的值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M≥0,都有|f(x)|≤M 成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函f(x)的一個(gè)上界.
已知函數(shù)f(x)=1+a(
1
2
)
x
+(
1
4
)
x
,g(x)=log
1
2
1-ax
x-1

(1)若函數(shù)g(x)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)g(x),在區(qū)間[
5
3
,3]上的所有上界構(gòu)成的集合;
(3)若函數(shù)g(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題

已知函f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),且滿足對(duì)任意x∈R,都有f[f(x)-2x]=3,若則f(3)的值是


  1. A.
    3
  2. B.
    7
  3. C.
    9
  4. D.
    12

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:貴溪市模擬 題型:解答題

已知函f(x)=ex-x (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集為P,若M={x|
1
2
≤x≤2
}且M∩P≠∅求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫n0f(x)dx,是否存在等差數(shù)列{an}和首項(xiàng)為f(I)公比大于0的等比數(shù)列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,請(qǐng)求出數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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