Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}中a₁=19，a₄=13，S_n為{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）求通項a_n及S_n；
（Ⅱ）令c_n=b_n-a_n，且數(shù)列{c_n}是前三項為x，3x+3，6x+6的等比數(shù)列，求b_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列通項公式求出首項和公差，由此能求出通項a_n及S_n．
（Ⅱ）由數(shù)列{c_n}是前三項為x，3x+3，6x+6的等比數(shù)列，求出x=-3，從而得到等比數(shù)列{c_n}中c_n=（-3）•2^n-1．由此能求出b_n．

解答 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}中a₁=19，a₄=13，S_n為{a_n}的前n項和，
∴a₄=19+3d=13，解得d=-2，
∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n．
${S}_{n}=19n+\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=20n-n²．
（Ⅱ）∵數(shù)列{c_n}是前三項為x，3x+3，6x+6的等比數(shù)列，
∴（3x+3）²=x（6x+6），
解得x=-1（舍）或x=-3，
∴等比數(shù)列{c_n}前3項為-3，-6，-12，
∴c_n=（-3）•2^n-1．
∵c_n=b_n-a_n，
∴b_n=c_n+a_n=（-3）•2^n-1+21-2n．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式及前n項和公式的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．