若橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),離心率為
3
2
,點(diǎn)D(
a
2
,
3
2
)在該橢圓上.
(1)求橢圓方程;
(2)在直線x=
4
3
3
上任取點(diǎn)P,過P作橢圓切線,切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),證明:直線PA方程為
x1x
4
+yy1=1,且直線AB過定點(diǎn).
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)運(yùn)用橢圓的離心率公式,點(diǎn)在橢圓上,及a,b,c的關(guān)系,解方程,即可得到橢圓方程;
(2)設(shè)出直線PA的方程,聯(lián)立橢圓方程,消去y,再由相切的條件,得到判別式為0,化簡(jiǎn)整理,結(jié)合A在橢圓上,即可得到直線PA的方程,進(jìn)而得到直線PB的方程,求出直線AB的斜率,求出AB的方程,即可得到恒過定點(diǎn).
解答: (1)解:由于橢圓的離心率為
3
2
,即有e=
c
a
=
3
2
,①
點(diǎn)D(
a
2
3
2
)在該橢圓上,則有
1
4
+
3
4b2
=1,
解得,b=1,則a2-c2=1,②
由①②解得,a=2,c=
3

則橢圓方程為:
x2
4
+y2=1;
(2)證明:設(shè)直線PA:y-y1=k(x-x1),
聯(lián)立橢圓方程x2+4y2=4,
消去y,可得,(1+4k2)x2+8k(y1-kx1)x+4(y1-kx12-4=0,
由于相切,則有判別式△=64k2(y1-kx12-16(1+4k2)[(y1-kx12-1]=0,
化簡(jiǎn)得,(y1-kx12-1-4k2=0,
由于A在橢圓上,則x12+4y12=4,即有x12-4=-4y12,y12-1=-
1
4
x12,
則有(y12-1)+k2(x12-4)-2kx1y1=0,
即有-
1
4
x12-4k2y12-2kx1y1=0,即(
x1
2
+2ky12=0,
則k=
x1
-4y1
,代入直線PA的方程,則有y-y1=
x1
-4y1
(x-x1),
整理,即得
x1x
4
+y1y=
x12
4
+y12=1,
則直線PA方程為
x1x
4
+yy1=1.
同理可得直線PB的方程為
x2x
4
+y2y=1,
設(shè)P(
4
3
3
,n),則有
3
3
x1+ny1=1,
3
3
x2+ny2=1,
兩式相減可得,
3
3
(x1-x2)+n(y1-y2)=0,
則有AB的斜率為:kAB=
y1-y2
x1-x2
=-
3
3n
,
則直線AB:y-y1=-
3
3n
(x-x1),
即有ny-ny1=ny-(1-
3
3
x1)=-
3
3
x+
3
3
x1,
即有ny=1-
3
3
x,由
1-
3
3
x=0
y=0
解得,
x=
3
y=0

則有恒過定點(diǎn)(
3
,0),
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的方程和性質(zhì),考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,消去未知數(shù),運(yùn)用判別式為0,考查直線的斜率公式,直線恒過定點(diǎn)問題,考查化簡(jiǎn)整理運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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設(shè)t是實(shí)數(shù),且
t
1-
3
i
+
1-
3
i
2
是實(shí)數(shù),則t的值為(  )
A、
1
2
B、1
C、
3
2
D、2

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; n=
 

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P是橢圓
x2
100
+
y2
64
=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是焦點(diǎn).
(1)若∠F1PF2=
π
4
,求△F1PF2的面積和P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求|PF1||PF1|的最大值.

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已知函數(shù)f(x)=2x-π,g(x)=cosx.
(1)設(shè)h(x)=f(x)-g(x),若x1,x2∈[-
π
2
+2kπ,
π
2
+2kπ](k∈Z),求證:
h(x1)+h(x2)
2
≥h(
x1+x2
2
);
(2)若x1∈[
π
4
3
4
π],且f(xn+1)=g(xn),求證:|x1-
π
2
|+|x2-
π
2
|+…+|xn-
π
2
|<
π
2

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