P是橢圓
x2
100
+
y2
64
=1上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是焦點.
(1)若∠F1PF2=
π
4
,求△F1PF2的面積和P點坐標(biāo);
(2)求|PF1||PF1|的最大值.
考點:橢圓的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)根據(jù)橢圓的定義和余弦定理,求出△F1PF2的面積,
設(shè)出P(x,y),利用直線PF1到直線PF2的角的公式,得出方程③,把③代入橢圓方程,求出點P的坐標(biāo);
(2)根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì),得出|PF1||PF1|的最大值.
解答: 解:(1)∵橢圓
x2
100
+
y2
64
=1,所以a=10,b=8;∴c=6,
設(shè)|PF1|=t1,|PF2|=t2,由橢圓的定義以及∠F1PF2=
π
4
,
∴t1+t2=20  ①
t12+t22-2t1t2cos
π
4
=122 ②,
由①2-②得2t1t2+
2
t1t2=256,
∴t1t2=
256
2+
2

∴S△F1PF2=
1
2
t1t2=
1
2
×
256
2+
2
=64(2-
2
),
∴△F1PF2的面積為64(2-
2
);
設(shè)P(x,y),則直線PF1的斜率是kPF1=
y
x+6
,
直線PF2的斜率是kPF2=
y
x-6
,
又∵∠F1PF2=
π
4
,
y
x+6
-
y
x-6
1+
y
x+6
y
x-6
=tan
π
4
,
整理得x2=36-y2-12y③,
把③代入橢圓方程,得;
64(36-y2-12y)+100y2=100×64,
整理得,9y2-192y-1024=0,
解得y=
192(
2
-1)
18
,或y=-
192(
2
+1)
18
(不合題意,舍去);
當(dāng)y=
192(
2
-1)
18
時,
x2=100(1-
(
192(
2
-1)
18
)
2
64
),
∴x=±10
1-
(
192(
2
-1)
18
)
2
64
,
根據(jù)橢圓的對稱性得,P(±10
1-
(
192(
2
-1)
18
)
2
64
,
192(
2
-1)
18
),
或P(±10
1-
(
192(
2
-1)
18
)
2
64
,
192(
2
-1)
18
);
(2)根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì),得|PF1||PF1|的最大值是(a+c)2=(10+6)2=256.
點評:本題考查了直線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題,題目中求點P的坐標(biāo)數(shù)據(jù)不合適,是易錯題.
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使函數(shù)f(x)=
log0.5(4x-3)
有意義的x的取值集合為( 。
A、(0,
3
4
]
B、(1,4)
C、(
3
4
,1]
D、(
3
4
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),離心率為
3
2
,點D(
a
2
,
3
2
)在該橢圓上.
(1)求橢圓方程;
(2)在直線x=
4
3
3
上任取點P,過P作橢圓切線,切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),證明:直線PA方程為
x1x
4
+yy1=1,且直線AB過定點.

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若點O是線段BC外一點,點P是平面上任意一點,且
OP
OB
OC
(λ、μ∈R),則下面的說法正確的是(  )
A、若λ+μ=1,且λ>0,則點P在線段BC的延長線上
B、若λ+μ=1,且λ<0,則點P在線段BC的延長線上
C、若λ+μ>1,則點P在△OBC外
D、若λ+μ<1,則點P在△OBC內(nèi)

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3x2
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已知在四棱錐P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=a.
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(2)求直線PC與平面ABCD所成角正切值;
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ax
x+1
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1
1+x

(1)若x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點,求a的值;
(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;
(3)證明:(
2014
2015
2015
1
e

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