Question

13．已知：（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N^*，n為常數(shù)）．
（1）求|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a_n|；
（2）我們知道二項(xiàng)式（1+x）ⁿ的展開(kāi)式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ．若該等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²…+nC_nⁿx^n-1，令x=1，可得C_n¹+2C_n²+3C_n³…+nC_nⁿ=n•2^n-1．利用此方法解答以下問(wèn)題：
①求1a₁+2a₂+3a₃+…+na_n；
②求1²a₁+2²a₂+3²a₃+…+n²a_n．

Answer 1

分析 （1）|a₀|+|a₁|+|a₃|+…+|a_n|即為（2x+1）ⁿ的各項(xiàng)系數(shù)和，令x=1可得要求式子的值．
（2）①對(duì)于（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N^*，n為常數(shù)），該等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，再令x=1得1a₁+2a₂+3a₃+…+na_n的值．
②將$2n{（2x-1）^{n-1}}={a_1}+2{a_2}x+3{a_3}{x^2}+…+n{a_n}{x^{n-1}}$兩邊同乘x，兩邊再對(duì)x求導(dǎo)再令x=1，即可求得${1^2}{a_1}+{2^2}{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{n^2}{a_n}$的值．

解答 解：（1）|a₀|+|a₁|+|a₃|+…+|a_n|即為（2x+1）ⁿ的各項(xiàng)系數(shù)和，
令x=1，則|a₀|+|a₁|+|a₃|+…+|a_n|=3ⁿ．
（2）①對(duì)于：（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N^*，n為常數(shù)），
該等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：$2n{（2x-1）^{n-1}}={a_1}+2{a_2}x+3{a_3}{x^2}+…+n{a_n}{x^{n-1}}$，
令x=1得1a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2n．
②將$2n{（2x-1）^{n-1}}={a_1}+2{a_2}x+3{a_3}{x^2}+…+n{a_n}{x^{n-1}}$，
兩邊同乘x得2n（2x-1）^n-1x=${a_1}x+2{a_2}{x^2}+3{a_3}{x^3}+…+n{a_n}{x^n}$，
兩邊再對(duì)x求導(dǎo)：2n[2（n-1）（2x-1）^n-2x+（2x-1）^n-1]=${a_1}+{2^2}{a_2}{x^1}+{3^2}{a_3}{x^2}+…+{n^2}{a_n}{x^{n-1}}$，
令x=1得${1^2}{a_1}+{2^2}{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{n^2}{a_n}$=4n²-2n．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開(kāi)式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于中檔題．