Question

8．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|，
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，作出圖形并寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間$（-\sqrt{2}-1，2]$的值域；
（Ⅲ）設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時，化簡函數(shù)解析式，作出圖形并寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)在（-2，-1）是減函數(shù)，在（-1，2）是減函數(shù)，求出函數(shù)的最值．
（Ⅲ）化簡函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（x-a），x≥a\\ x（a-x），x＜a\end{array}\right.$，畫出圖象，利用最值，求解范圍即可．

解答 （Ⅰ）解：當(dāng)a=2時，f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}x（x-2），x≥2\\ x（2-x），x＜2\end{array}\right.$，作出圖象  …（2分）
由圖象可知，
單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，[2，+∞）…（4分）
（Ⅱ）∵$f（x）在（-\sqrt{2}-1，-2）$是增函數(shù)，在（-2，-1）是減函數(shù)，在（-1，2）是減函數(shù)，…（6分）
∴f（x）_min=f（-1）=-1∴f（x）_max=8…（8分）
∴f（x）的值域為[-1，8]…（10分）
（Ⅲ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（x-a），x≥a\\ x（a-x），x＜a\end{array}\right.$
當(dāng)a＞0時，圖象如圖所示
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{a^2}{4}\\ y=x（x-a）\end{array}\right.$得$x=\frac{{（\sqrt{2}+1）a}}{2}$…（12分）
∴$0≤m＜\frac{a}{2}$，$a＜n≤\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}a$…（16分）

點評 本題考查函數(shù)的解析式的化簡，圖象的作法，函數(shù)的最值的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．