Question

若滿足∠ABC=

π

3

，AC=3，BC=m的△ABC恰有一解，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用正弦定理列出關(guān)系式，將sin∠ABC，AC，BC代入表示出sin∠BAC，根據(jù)∠BAC的范圍確定出sin∠BAC的值域，分類討論得出m的范圍即可．

解答： 解：∵∠ABC=

π

3

，AC=3，BCm，
∴由正弦定理得：sin∠BAC=

BC

AC

sin∠ABC=

m

3

×

3

2

=

3 m

6

，
∵0＜∠BAC＜

2π

3

，
若

3 m

6

=1，即m=

6

3

=2

3

時，∠BAC為直角，只有一解；
若

3

2

＜

3 m

6

＜1，即3＜m＜2

3

時，∠BAC有兩種情況為arcsin（

3 m

6

）或π-arcsin（

3 m

6

），三角形就有兩解；
若0＜

3 m

6

≤

3

2

，即0＜m≤3時，∠BAC只有一種情形為arcsin（

3 m

6

），
綜上，m的范圍為（0，3]∪{2

3

}．
故答案為：（0，3]∪{2

3

}

點評：此題考查了正弦定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．