Question

（2010•桂林二模）已知函數(shù)f（x）=ax³+

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bx²-2x+c的圖象在點(diǎn)（2，f（x））處的切線方程為4x-y-5=0，且在[-2，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤

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恒成立，試問這樣的m是否存在？若存在，求出m的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=ax³+

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bx²-2x+c的圖象在點(diǎn)（2，f（x））處的切線方程為4x-y-5=0，知f′（2）=4，f（2）=3；由在[-2，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增知f′（1）=0，由此列方程組即可解得a、b、c的值
（Ⅱ）先由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)推知函數(shù)的單調(diào)性為在（-∞，-2）及（1，+∞）為增函數(shù)，在（-2，1）為減函數(shù)，要知道函數(shù)在區(qū)間[m，m+3]上的單調(diào)性，需要討論m與1的大小，故下面分m＞1和0≤m≤1時(shí)研究問題，因?yàn)椴坏仁絴f（x₁）-f（x₂）|≤

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恒成立，只需f（x）在區(qū)間[m，m+3]上的最大值與最小值之差不大于

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即可，從而將問題轉(zhuǎn)化為在兩種情況下求函數(shù)的值域問題

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax³+

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bx²-2x+c的圖象在點(diǎn)（2，f（x））處的切線方程為4x-y-5=0
∴f（2）=4×2-5=3，f′（2）=4
∵函數(shù)f（x）在[-2，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，∴f′（1）=0
∵f′（x）=3ax²+bx-2
由f′（1）=0，f′（2）=4，f（2）=3，得

3a+b-2=0 2a+2b-2=4 8a+2b-4+c=3

解得a=

1

3

，b=1，c=

7

3

∴f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+

7

3

（Ⅱ）∵f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1）
∴f（x）在（-∞，-2）及（1，+∞）為增函數(shù)，在（-2，1）為減函數(shù)
設(shè)存在滿足條件的m，則
①當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）在[m，m+3]上遞增，故f（x）_max=f（m+3），f（x）_min=f（m）
∵f（m+3）-f（m）=

1

3

（m+3）³+

1

2

（m+3）²-2（m+3）-

1

3

m³-

1

2

m²+2m=3m²+12m+

15

2

∵不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤

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恒成立，∴3m²+12m+

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≤

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解得-5≤m≤1，與條件矛盾，故舍去
②當(dāng)0≤m≤1時(shí)，f（x）在[m，1）上遞減，在（1，m]上遞增
∴f（x）_max=max{f（m），f（m+3）}，f（x）_min=f（1）
∵f（m+3）-f（m）=

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3

（m+3）³+

1

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（m+3）²-2（m+3）-

1

3

m³-

1

2

m²+2m=3m²+12m+

15

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＞0  （0≤m≤1）
∴f（x）_max=f（m+3），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=

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恒成立
∴存在0≤m≤1，使不等式恒成立，
∴m∈[0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的重要應(yīng)用，不等式恒成立問題的解法